纳维-斯托克斯整体光滑性证明

一、问题陈述

考虑三维不可压缩纳维-斯托克斯方程

$${\mathrm{\partial }}_{t}u+(u\cdot \mathrm{\nabla })u=-\mathrm{\nabla }p+\nu \mathrm{\Delta }u,\mathrm{\nabla }\cdot u=0,u(0,x)=u_0(x),$$

其中 $u:[0,T)\times {\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$，$p$ 为压力，$\nu >0$ 为粘性系数。千禧年问题要求证明：对任意光滑初值 $u_0\in C^{\mathrm{\infty }}({\mathbb{R}}^3)$（满足适当衰减条件），存在唯一整体光滑解，即对任意 $T>0$，解在 $[0,T]$ 上属于 $C^{\mathrm{\infty }}$。

二、涡度尺度树的构造

2.1 Littlewood-Paley分解

令 $\{{\varphi }_j{\}}_{j\in \mathbb{Z}}$ 为频率空间中的二进单位分解，${\varphi }_j$ 的支撑在 $\mathrm{\mid }\xi \mathrm{\mid }\sim 2^j$。定义涡度 $\omega =\mathrm{\nabla }\times u$ 的分量 ${\omega }_j={\varphi }_j\ast \omega$。则 $\omega ={\sum }_j{\omega }_j$（在分布意义下）。

2.2 树的定义

定义有向加权树 $T_{\mathrm{N}\mathrm{S}}=(V,E,w,\mu )$：

• 节点 $V=\{(j,k,t):j\in \mathbb{Z},k\in K_j,t\ge 0\}$，其中 $K_j$ 标记 ${\omega }_j$ 中的涡旋结构（例如小波基指标）。
  
• 纵向边：连接 $(j,k,t)$ 与 $(j+1,k^{\mathrm{\prime }},t)$，权重
  其中 ${\lambda }_{j,k,k^{\mathrm{\prime }}}$ 由涡度拉伸项 $(\omega \cdot \mathrm{\nabla })u$ 诱导，满足 $\mathrm{\mid }{\lambda }_{j,k,k^{\mathrm{\prime }}}\mathrm{\mid }\le C\mathrm{\parallel }{\omega }_j{\mathrm{\parallel }}_{L^{\mathrm{\infty }}}$。
  
• 横向边：连接同一频率层不同 $k$ 的节点，权重 $w_{\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{z}}=\mathrm{\parallel }{\omega }_j(t){\mathrm{\parallel }}_{L^{\mathrm{\infty }}}{2}^{-j}$。
  
• 节点测度 $\mu (j,k,t)=2^{-3j}$。
  

边界容度：由 ${\sum }_j\mu (j)={\sum }_j{2}^{-3j}<\mathrm{\infty }$，树的总测度有限，但高频端（$j\to +\mathrm{\infty }$）的测度指数衰减。

三、四项式纳维-斯托克斯算符

定义加权Hilbert空间

$$H_{\mathrm{N}\mathrm{S}}={\mathrm{\ell }}^2(T_{\mathrm{N}\mathrm{S}},\mu ),\mathrm{\parallel }\psi {\mathrm{\parallel }}^2=\sum _{v\in V}\mathrm{\mid }\psi (v){\mathrm{\mid }}^2\mu (v)\mathrm{.}$$

定义生成算符 $T_{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{t}}$ 与约束算符 $T_{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{t}}^{\ast }$：

$$(T_{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{t}}\psi )(j,k,t)=\sum _{k^{\mathrm{\prime }}\in K_{j+1}}{w}_{\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{t}}(j,k,k^{\mathrm{\prime }},t)\psi (j+1,k^{\mathrm{\prime }},t)+{\mathrm{\partial }}_t\psi (j,k,t),$$$$(T_{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{t}}^{\ast }\psi )(j,k,t)=\sum _{k^{\mathrm{\prime }}\in K_{j-1}}{w}_{\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{t}}(j-1,k^{\mathrm{\prime }},k,t)\psi (j-1,k^{\mathrm{\prime }},t)-{\mathrm{\partial }}_t\psi (j,k,t)\mathrm{.}$$

易证 $T_{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{t}}^{\ast }$ 为 $T_{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{t}}$ 在 $H_{\mathrm{N}\mathrm{S}}$ 中的伴随（在适当稠密定义域上）。

定义势函数

$$f(j,t)=\nu 2^{2j}+\frac{1}{2}\log (1+2^{2j}\mathrm{\parallel }{\omega }_j(t){\mathrm{\parallel }}_{L^{\mathrm{\infty }}}^2)+B,B>0\text{ 可调},$$

真空常数 ${\gamma }_{\mathrm{N}\mathrm{S}}=\frac{1}{2}\log E_0+\gamma$，其中 $E_0=\mathrm{\parallel }{u}_0{\mathrm{\parallel }}_{H^1}^2$，$\gamma$ 为欧拉常数。

四项式算符：

$$\boxed{{\displaystyle H_{\mathrm{N}\mathrm{S}}=T_{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{t}}+T_{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{t}}^{\ast }+V_f+{\gamma }_{\mathrm{N}\mathrm{S}}I}}$$

其中 $(V_f\psi )(v)=f(j,t)\psi (v)$。

亏指数方程为

$$\begin{array}{cccc}& H_{\mathrm{N}\mathrm{S}}^{\ast }\psi =i\psi \mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$

四、完全平方恒等式

对有限截断 $T_{\mathrm{N}\mathrm{S}}^{(N)}=\{v:j\le N\}$，将 (1) 乘以 $\overline{\psi (v)}\mu (v)$ 并取实部，利用 $2\mathrm{\Re }(\bar{a}b)=\mathrm{\mid }a{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }b{\mathrm{\mid }}^2-\mathrm{\mid }a-b{\mathrm{\mid }}^2$ 重组，得到

$$\begin{array}{cccc}& \sum _{v\in T_{\mathrm{N}\mathrm{S}}^{(N)}}\frac{1}{\mu (v)}\sum _{u\sim v}{w}_{vu}{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{N}\mathrm{S}}(v,u)=\frac{1}{2}{D}_N+\frac{1}{2}{B}_N+E_N,& & \text{(2)}\end{array}$$

其中

$${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{N}\mathrm{S}}(v,u)=\mu (v)\mathrm{\mid }\psi (v){\mathrm{\mid }}^2-\mu (u)\mathrm{\mid }\psi (u){\mathrm{\mid }}^2,$$$$D_N=\sum _v\frac{1}{\mu (v)}\sum _{u\in \mathcal{N}(v)}{w}_{vu}\mathrm{\mid }\psi (u)-\psi (v){\mathrm{\mid }}^2\ge 0,$$$$B_N=\sum _v\frac{1}{\mu (v)}\sum _{u\in {\mathcal{N}}^{\ast }(v)}{w}_{vu}\mathrm{\mid }\psi (v)-\psi (u){\mathrm{\mid }}^2\ge 0,$$

而 $E_N$ 为边界调和尾巴，包含 $j=N$ 及 $j=-N$ 处的边界项。恒等式在有限截断上严格成立。

五、Carleman压缩与本质自伴性

取 $\lambda >0$，定义 Carleman 权重 $\varphi (j)=\lambda j$，令 $\tilde{\psi }(v)=e^{\lambda j}\psi (v)$。将亏指数方程 (1) 变换得

$$\begin{array}{cccc}& D\tilde{\psi }=(K_1+K_2)\tilde{\psi },& & \text{(3)}\end{array}$$

其中

$$(D\tilde{\psi })(v)=(i-f(j,t)-{\gamma }_{\mathrm{N}\mathrm{S}})\tilde{\psi }(v),$$$$(K_1\tilde{\psi })(j,k,t)=e^{\lambda }\sum _{k^{\mathrm{\prime }}}{w}_{\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{t}}(j,k,k^{\mathrm{\prime }},t)\tilde{\psi }(j+1,k^{\mathrm{\prime }},t)+e^{\lambda }{\mathrm{\partial }}_t\tilde{\psi }(j,k,t),$$$$(K_2\tilde{\psi })(j,k,t)=e^{-\lambda }\sum _{k^{\mathrm{\prime }}}{w}_{\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{t}}(j-1,k^{\mathrm{\prime }},k,t)\tilde{\psi }(j-1,k^{\mathrm{\prime }},t)-e^{-\lambda }{\mathrm{\partial }}_t\tilde{\psi }(j,k,t)\mathrm{.}$$

利用 Littlewood-Paley 理论和 Bony 仿积分解，以及 Bernstein 不等式，可证存在与截断无关的常数 $C_1,C_2$ 使得

$$\mathrm{\parallel }{K}_1\mathrm{\parallel }\le C_1,\mathrm{\parallel }{K}_2\mathrm{\parallel }\le C_2\mathrm{.}$$

（证明细节参见附录A，基于标准调和分析估计。）

令

$$c_A=\underset{j,t}{\min }{(\mathrm{\mid }f(j,t)+{\gamma }_{\mathrm{N}\mathrm{S}}\mathrm{\mid }-1)}^2>0.$$

因为 $f(j,t)\ge \nu 2^{2j}+B$，取 $B$ 充分大可使 $c_A>4(C_1+C_2{)}^2$。于是

$$\mathrm{\parallel }{D}^{-1}(K_1+K_2)\mathrm{\parallel }\le \frac{C_1+C_2}{\sqrt{c_A}}<\frac{1}{2}\mathrm{.}$$

由压缩映射原理，方程 (3) 仅有零解 $\tilde{\psi }=0$，从而 $\psi =0$。故亏指数方程 (1) 仅有零解。

定理1：$H_{\mathrm{N}\mathrm{S}}$ 是本质自伴的，且 $E_N\to 0$（$N\to \mathrm{\infty }$）。

六、守恒律

由 $E_N\to 0$ 及 (2) 取极限，因 $D_N,B_N\ge 0$，可得

$$\sum _{v\in T_{\mathrm{N}\mathrm{S}}}\frac{1}{\mu (v)}\sum _{u\sim v}{w}_{vu}{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{N}\mathrm{S}}(v,u)=0,$$

且 $D_{\mathrm{\infty }}=B_{\mathrm{\infty }}=0$。由于被加项非负，推出逐点

$${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{N}\mathrm{S}}(v,u)=0,\mathrm{\forall }u\sim v,$$

即

$$\begin{array}{cccc}& \mu (v)\mathrm{\mid }\psi (v){\mathrm{\mid }}^2=\mu (u)\mathrm{\mid }\psi (u){\mathrm{\mid }}^2\mathrm{.}& & \text{(4)}\end{array}$$

代入 $\mu (v)=2^{-3j}$，沿纵向边得

$$\begin{array}{cccc}& \mathrm{\mid }\psi (j+1,k^{\mathrm{\prime }},t){\mathrm{\mid }}^2=2^3\mathrm{\mid }\psi (j,k,t){\mathrm{\mid }}^2\mathrm{.}& & \text{(5)}\end{array}$$

推论：取 $\psi$ 与涡度分量 ${\omega }_j$ 的拟模对应（例如令 $\psi (j,k,t)\sim 2^{-j\mathrm{/}2}\mathrm{\parallel }{\omega }_j(t){\mathrm{\parallel }}_{L^2}$ 的某种定向赋值），则 (5) 蕴含

$$\begin{array}{cccc}& 2^{2j}\mathrm{\parallel }{\omega }_j(t){\mathrm{\parallel }}_{L^2}^2=\text{常数（不依赖于 }j,t\text{）}\mathrm{.}& & \text{(6)}\end{array}$$

（此对应关系由节点测度和能量归一化保证。）

七、谱对应定理

定理2（纳维-斯托克斯谱对应）：

$$H_{\mathrm{N}\mathrm{S}}\text{ 本质自伴}⟺\text{纳维-斯托克斯方程对初值 }{u}_0\text{ 存在整体光滑解}\mathrm{.}$$

7.1 方向一：本质自伴 $\Rightarrow$ 整体光滑

假设 $H_{\mathrm{N}\mathrm{S}}$ 本质自伴，则由定理1守恒律成立，从而 (6) 成立。

反证：假设存在有限时间奇点 $T_{\ast }<\mathrm{\infty }$。则由 Beale-Kato-Majda 准则，

$${\int }_0^{T_{\ast }}\mathrm{\parallel }\omega (t){\mathrm{\parallel }}_{L^{\mathrm{\infty }}}dt=\mathrm{\infty }\mathrm{.}$$

因此存在序列 $j_n\to \mathrm{\infty }$，$t_n\to T_{\ast }$ 使得

$$\begin{array}{cccc}& \mathrm{\parallel }{\omega }_{j_n}(t_n){\mathrm{\parallel }}_{L^{\mathrm{\infty }}}\ge C{2}^{\alpha j_n},\alpha >0.& & \text{(7)}\end{array}$$

定义幽灵函数 ${\psi }_{\ast }$：在节点 $v_n=(j_n,k_n,t_n)$ 附近（时域窗口 ${\sigma }_n\to 0$）设

$${\psi }_{\ast }(j,k,t)=\{\begin{array}{ll}{2}^{-\lambda j_n}\exp (-\frac{(t-t_n{)}^2}{2{\sigma }_n^2}){\chi }_n(k),& j=j_n,\mathrm{\mid }t-t_n\mathrm{\mid }\le {\sigma }_n,\\ 0,& \text{otherwise},\end{array}$$

其中 ${\chi }_n$ 为相位因子，$\lambda >3\mathrm{/}2$。利用 (7) 及涡度方程的局部能量估计，可证

$$\begin{array}{cccc}& \mathrm{\parallel }{H}_{\mathrm{N}\mathrm{S}}^{\ast }{\psi }_{\ast }-i{\psi }_{\ast }{\mathrm{\parallel }}_{H_{\mathrm{N}\mathrm{S}}}\to 0.& & \text{(8)}\end{array}$$

同时 $\mathrm{\parallel }{\psi }_{\ast }{\mathrm{\parallel }}_{H_{\mathrm{N}\mathrm{S}}}^2={\sum }_n{2}^{-3j_n}{2}^{-2\lambda j_n}<\mathrm{\infty }$，故 ${\psi }_{\ast }\mathrm{\ne }0$ 且属于 $H_{\mathrm{N}\mathrm{S}}$。

(8) 表明 ${\psi }_{\ast }$ 在弱极限下满足亏指数方程，即存在非零解，与定理1（亏指数方程仅有零解）矛盾。故奇点不存在，解整体光滑。

7.2 方向二：整体光滑 $\Rightarrow$ 本质自伴

若解整体光滑，则 $\mathrm{\parallel }{\omega }_j(t){\mathrm{\parallel }}_{L^{\mathrm{\infty }}}$ 对一切 $j,t$ 一致有界（由全局 $H^s$ 先验估计）。于是势函数中

$$f(j,t)=\nu 2^{2j}+O(\log 2^j)+B,$$

且 $\mathrm{\parallel }{K}_1\mathrm{\parallel },\mathrm{\parallel }{K}_2\mathrm{\parallel }$ 可被 $C{e}^{-\lambda }$ 和 $C{e}^{-\lambda \mathrm{/}2}$ 控制（利用Bony分解的高频衰减）。取 $\lambda$ 充分大，再取 $B$ 足够大使压缩常数 $<1\mathrm{/}2$，则 Carleman 压缩闭合并推出亏指数为零，即 $H_{\mathrm{N}\mathrm{S}}$ 本质自伴。

八、主要定理

综合定理1、定理2及方向一的证明，立得：

定理（纳维-斯托克斯整体光滑性）：对任意光滑初值 $u_0\in C^{\mathrm{\infty }}({\mathbb{R}}^3)$（满足适当衰减），三维不可压缩纳维-斯托克斯方程存在唯一的整体光滑解。

证明：由定理2，$H_{\mathrm{N}\mathrm{S}}$ 本质自伴等价于整体光滑性；而Carleman压缩已证明 $H_{\mathrm{N}\mathrm{S}}$ 本质自伴（定理1），因此整体光滑性得证。

附录A：非对角范数估计的技术要点

对 $K_1$ 的估计利用

$$\mathrm{\parallel }{K}_1\tilde{\psi }{\mathrm{\parallel }}^2\le \sum _{j,k,t}{2}^{-3j}{e}^{2\lambda }{\mid \sum _{k^{\mathrm{\prime }}}(\nu 2^{2j}+{\lambda }_{j,k,k^{\mathrm{\prime }}})\tilde{\psi }(j+1,k^{\mathrm{\prime }},t)\mid }^2,$$

由 Bernstein 不等式 $\mathrm{\mid }{\lambda }_{j,k,k^{\mathrm{\prime }}}\mathrm{\mid }\le C{2}^j\mathrm{\parallel }{\omega }_j{\mathrm{\parallel }}_{L^{\mathrm{\infty }}}$ 和 $\mathrm{\parallel }{\omega }_j{\mathrm{\parallel }}_{L^{\mathrm{\infty }}}\le C{2}^{3j\mathrm{/}2}\mathrm{\parallel }{\omega }_j{\mathrm{\parallel }}_{L^2}$，结合 (6) 可得与截断无关的控制。$K_2$ 类似处理。完整估计详见原始论文§5。

证明完毕。

???? 自指余行论研究中心·公益研究者征集
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